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Contoh Soal dan Pembahasan Logaritma (Matematika kelas 10)

Halo adik-adik…
Pada kesempatan kali ini kami akan berikan materi tentang logaritma (matematika kelas 10). Yang akan dibahas kali ini adalah sifat-sifat logaritma berikut contoh soal dan pembahasannya.

Definisi Logaritma

Logaritma berkaitan dengan eksponen, jika \(a^{c}=b\) maka penulisan dalam logaritma adalah :
\(^{a}\log b = c\) atau \(log_{a}b=c\)
Untuk a ,  b > 0 dan a \(\neq\) 1, berlaku \(^{a}\log b = c\) dengan a bilangan pokok dan b adalah numerus serta c adalah hasil dari logaritma .

Sifat-sifat logaritma

  1. \(^{a}log\hspace{1mm}b.c = ^{a}log\hspace{1mm}b + ^{a}log\hspace{1mm}c\)
    Contoh soal : 
    1. Misal \(^{2}log\hspace{1mm}3 = a\) dan \(^{2}log\hspace{1mm}5 = b\), tentukan \(^{2}log\hspace{1mm}45\) = ...
      Jawab :
      \(\begin{eqnarray}^{2}log\hspace{1mm}45&=&^{2}log\hspace{1mm}9.5\\&=&^{2}log\hspace{1mm}9+^{2}log\hspace{1mm}5\\&=&^{2}log\hspace{1mm}3^{2}+^{2}log\hspace{1mm}5\\&=&2 ^{2}log\hspace{1mm}3+^{2}log\hspace{1mm}5\\&=&2a + b\end{eqnarray}\)
    2. Misal \(^{3}log\hspace{1mm}15 = m\) maka \(^{3}log\hspace{1mm}5\) adalah ...
      Jawab :
      \(\begin{eqnarray}^{3}log\hspace{1mm}15&=&^{3}log\hspace{1mm}3+^{3}log\hspace{1mm}5\\m &=& 1 + ^{3}log\hspace{1mm}5\\ m - 1 &=& ^{3}log\hspace{1mm}5\end{eqnarray}\)
  2. \(^{a}log\frac{b}{c} = ^{a}log\hspace{1mm}b - ^{a}log\hspace{1mm}c\)
    Contoh soal :
    1. Misal \(^{2}log\hspace{1mm}15 = m\) , \(^{2}log\hspace{1mm}5=n\), tentukan \(^{2}log\hspace{1mm}3\) !
      Jawab :
      \(\begin{eqnarray}^{2}log\hspace{1mm}3&=&^{2}log \frac{15}{3}\\^{2}log\hspace{1mm}3&=&^{2}log\hspace{1mm}15 - ^{2}log\hspace{1mm}5\\^{2}log\hspace{1mm}3&=&m-n\end{eqnarray}\)
    2. Jika \(^{3}log\hspace{1mm}a =\hspace{1mm} ^{3}log\hspace{1mm}54 - ^{3}log\hspace{1mm}2\), maka tentukan nilai \(\sqrt{a}-3\sqrt{3}\) !
      Jawab :
      \(\begin{eqnarray}^{3}log\hspace{1mm}54 - ^{3}log\hspace{1mm}2&=& ^{3}log\hspace{1mm}a\\^{3}log \frac{54}{2}&=& ^{3}log\hspace{1mm}a\\^{3}log\hspace{1mm}27\\a&=&27\end{eqnarray}\)
      maka nilai dari
      \(\begin{eqnarray}\sqrt{a}-3\sqrt{3}&=&\sqrt{27}-3\sqrt{3}\\&=&3\sqrt{3}-3\sqrt{3}\\&=&0\end{eqnarray}\)
  3. \(^{a^{n}}log\hspace{1mm}b^{m}=\frac{m}{n}\hspace{1mm}. ^{a}log\hspace{1mm}b\), dengan m, n bilangan real.Contoh soal :
      1. Nilai dari \(^{4}log\hspace{1mm}256\) adalah ...
        Jawab :
        \(\begin{eqnarray}^{4}log\hspace{1mm}256&=&^{2^{2}}log\hspace{1mm}(2^{8})\\&=&\frac{8}{2}.^{2}log\hspace{1mm}2&=&4 . 1\\&=&4\end{eqnarray}\)
      2. Jika \(^{3}log\hspace{1mm}5=a\), maka nilai dari \(^{27}log\hspace{1mm}25\) adalah ...
        Jawab :
        \(\begin{eqnarray}^{27}log\hspace{1mm}25&=&^{3^{3}}log\hspace{1mm} 5^{2}\\&=&\frac{2}{3} . ^{3}log\hspace{1mm}5\\&=&\frac{2}{3}a\end{eqnarray}\)
    1. \(^{a}log\hspace{1mm}b^{m}=m\hspace{1mm}^{a}log\hspace{1mm}b\)
      Contoh soal :
        1. \(^{2}log\hspace{1mm}8= ^{2}log\hspace{1mm}2^{3}=3 . ^{2}log\hspace{1mm}2=3 . 1=3\)
        2. Tentukan nilai a jika \(^{3}log\hspace{1mm}81=4\)
          Jawab :
          \(\begin{eqnarray}^{a}log\hspace{1mm}81&=&4\\^{a}log\hspace{1mm}(3)^{4}&=&\frac4\\4 . ^{a}log\hspace{1mm}3&=&4\\^{a}log\hspace{1mm}3&=& \frac{4}{4}\\^{a}log\hspace{1mm}3&=&1\\a^{1}&=&3\\a&=&3\end{eqnarray}\)
      1. \(^{a}log\hspace{1mm}b=\frac{^{p}log\hspace{1mm}b}{^{p}log\hspace{1mm}a}\), dengan p > 0, p bilangan real.
        Contoh soal :
        1. Misal \(^{3}log\hspace{1mm}2 = m\) dan \(^{3}log\hspace{1mm}7=n\), maka nilai dari \(^{21}log\hspace{1mm}56\) adalah ...
          Jawab :
          \(\begin{eqnarray}^{21}log\hspace{1mm}56&=&\frac{^{3}log\hspace{1mm}56}{^{3}log\hspace{1mm}21}\\&=&\frac{^{3}log^{3}log\hspace{1mm}8+ ^{3}log\hspace{1mm}7}{^{3}log\hspace{1mm}3+^{3}log\hspace{1mm}7}\\&=&\frac{^{3}log(2)^{3}+ n}{1+n}\\&=&\frac{3 . ^{3}log\hspace{1mm}2 + n}{1 + n}\\&=&\frac{3m + n}{n + 1}\end{eqnarray}\)
      2. \(^{a}log\hspace{1mm}b=\frac{1}{^{b}log\hspace{1mm}a}\)
        Contoh soal :
        1. Jika \(^{2}log\hspace{1mm}3=b\) maka \(^{3}loglog\hspace{1mm}12\) adalah ...
          Jawab :
          \(\begin{eqnarray}^{3}log\hspace{1mm}12&=&^{3}log\hspace{1mm}3 + ^{3}log\hspace{1mm}4\\&=&1 + ^{3}log\hspace{1mm}(2)^{2}\\&=&1+ 2 . ^{3}log\hspace{1mm}2\\&=&1+ \frac{2}{^{2}log\hspace{1mm}3}\\&=&1 + \frac{2}{b}\\&=&\frac{b+2}{b}\end{eqnarray}\)
      3. \(^{a}log\hspace{1mm}b.^{b}log\hspace{1mm}c=\hspace{1mm}^{a}log\hspace{1mm}c\)
        Contoh soal :
        1. Nilai dari \(^{3}log\hspace{1mm}5. ^{5}log\hspace{1mm}4. ^{2}log\hspace{1mm}81\) adalah ...
          Jawab :
          \(\begin{eqnarray}^{3}log\hspace{1mm}25\hspace{1mm}. ^{5}log\hspace{1mm}4\hspace{1mm}. ^{2}log\hspace{1mm}81&=&^{3}log\hspace{1mm}5^{2}\hspace{1mm}. ^{5}log\hspace{1mm}2^{2}\hspace{1mm}. ^{2}log\hspace{1mm}3^{4}\\&=&2 . 2 . 4\hspace{1mm} . ^{3}log\hspace{1mm}5\hspace{1mm}. ^{5}log\hspace{1mm}2\hspace{1mm}. ^{2}log\hspace{1mm}3\\&=&16\hspace{1mm}. ^{3}log\hspace{1mm}3\\&=&16\hspace{1mm}. 1\\&=&16 \end{eqnarray}\) 
        2. Tentukan nilai dari \(^{125}log\hspace{1mm}27\hspace{1mm}.\hspace{1mm}^{243}log\hspace{1mm}625\) !
          Jawab :
          \(\begin{eqnarray}^{125}log\hspace{1mm}27\hspace{1mm}.\hspace{1mm}^{243}log\hspace{1mm}625&=&^{243}log\hspace{1mm}625\hspace{1mm}.\hspace{1mm}^{125}log\hspace{1mm}27\\&=&^{3^{5}}log\hspace{1mm}5^{4}\hspace{1mm}.\hspace{1mm}^{5^{3}}log\hspace{1mm}3^{3}\\&=&\frac{4}{5}\hspace{1mm}.\hspace{1mm}\frac{3}{3}\hspace{1mm}.\hspace{1mm}^{3}log\hspace{1mm}5\hspace{1mm}.\hspace{1mm}^{5}log\hspace{1mm}3\\&=&\frac{4}{5}\hspace{1mm}.\hspace{1mm}1\hspace{1mm}.\hspace{1mm}1\\&=&\frac{4}{5} \end{eqnarray}\)
      4. \(a^{^{a}log\hspace{1mm}b}=b\)
        1. Nilai dari \(4^{^{2}log5}\) adalah ...
          Jawab :
          \(\begin{eqnarray}4^{^{2}log5}&=&2^{2\hspace{1mm}.\hspace{1mm}^{2}log5}\\&=&2^{^{2}log5^{2}}\\&=&2^{^{2}log25}\\&=&25\end{eqnarray}\)
        Demikian sifat-sifat logaritma berikut soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat.
        Terima kasih

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