Iklan Responsif Teks dan Gambar

Contoh Soal Matematika Peminatan SMA Semester Ganjil

Hai teman-teman semua..


Sudah siap dengan ujian semester ganjil tahun ini ? Untuk itu kami siapkan contoh soal matematika peminatan sma semester ganjil guna membantu teman-teman sekalian. Yuk pahami sama-sama.


  1. Trigonometri
    Jika \(tan\hspace{1mm}\alpha=\frac{3}{4}\) dan \(tan\hspace{1mm}\beta=\frac{7}{24}\), dengan \(\alpha\) dan \(\beta\) berada di Kuadran I. Tentukan nilai \(cos\hspace{1mm}(\alpha+\beta)\) …
    A. \(\frac{23}{125}\)
    B. \(\frac{110}{125}\)
    C. \(\frac{115}{125}\)
    D. \(\frac{3}{5}\)
    E. \(\frac{4}{5}\)
    Jawab :
    Buat segitiga siku-siku untuk mencari tahu masing-masing trigonometri untuk tiap sudut (\(\alpha\hspace{1mm}dan\hspace{1mm}\beta\))


    Berdasarkan gambar di atas, kita dapat menentukan nilai \(sin\alpha\),\(sin\beta\),\(cos\alpha\),dan \(cos\beta\). Dan perlu kalian lihat bahwa \(\alpha\) dan \(\beta\) berada di Kuadran I, yang artinya semua trigonometri bernilai positif.
    maka :
    \(\begin{eqnarray}cos(\alpha+\beta)&=&cos\alpha.cos\beta-sin\alpha.sin\beta\\&=&\frac{4}{5}.\frac{24}{25}-\frac{3}{5}.\frac{7}{25}\\&=&\frac{96}{125}-\frac{21}{125}\\&=&\frac{75}{125}\\&=&\frac{3}{5}\end{eqnarray}\)
    (Kunci : D)

  2. Trigonometri
    Diketahui \(cos(\alpha-\beta)=\frac{2}{3}\) dan \(\cos\alpha.cos\beta=\frac{1}{2}\). Jika \(\alpha+\beta\) adalah sudut lancip, maka nilai \(tan(\alpha+\beta)\)=…
    A. \(\frac{1}{4}\sqrt{2}\)
    B. \(\frac{1}{2}\)
    C. \(\frac{2}{3}\sqrt{2}\)
    D. \(2\)
    E. \(2\sqrt{2}\)
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}cos(\alpha-\beta)&=&cos\alpha.cos\beta+sin\alpha.sin\beta\\\frac{2}{3}&=&\frac{1}{2}+sin\alpha.\sin\beta\\\frac{2}{3}-\frac{1}{2}&=&sin\alpha.sin\beta\\\frac{4-3}{6}&=&sin\alpha.sin\beta\\\frac{1}{6}&=&sin\alpha.sin\beta\end{eqnarray}\)
    \(\begin{eqnarray}cos(\alpha+\beta)&=&cos\alpha.cos\beta-sin\alpha.sin\beta\\&=&\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\\&=&\frac{3-1}{6}\\&=&\frac{2}{6}\\&=&\frac{1}{3}\end{eqnarray}\)
    Perhatikan gambar Berikut :

    Seperti kalian ketahui, \(\frac{sin\theta}{cos\theta}=tan\theta\), maka :
    \(\begin{eqnarray}tan(\alpha+\beta)&=&\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos(\alpha+\beta)}\\&=&\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}\\&=&\frac{2\sqrt{2}}{3}\times\frac{3}{1}\\&=&\frac{2\sqrt{2}}{1}\\&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
    (Kunci : E)

  3. Trigonometri
    Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, dengan panjang sisi AC = 8 cm. Jika \(\angle C=30^{o}\), maka panjang sisi AB adalah ...
    A. 4 cm
    B. \(4\sqrt{2}\hspace{1mm}cm\)
    C. \(4\sqrt{3}\hspace{1mm}cm\)
    D. \(8\sqrt{2}\hspace{1mm}cm\)
    E. \(8\sqrt{3}\hspace{1mm}cm\)
    Jawab :
    Kita bisa menggunakan aturan sinus untuk mencari panjang sisi AB :
    \(\begin{eqnarray}\frac{AB}{sin\hspace{1mm}30^{o}}&=&\frac{AC}{sin\hspace{1mm}90^{o}}\\\frac{AB}{\frac{1}{2}}&=&\frac{8}{1}\\AB\times1&=&8\times\frac{1}{2}\\AB&=&4\hspace{1mm}cm\end{eqnarray}\)
    (Kunci : A)

  4. Trigonometri
    Buktikan identitas trigonometri Berikut :
    \(\frac{csc^{2}\theta-1}{csc^{2}\theta}=cos^{2}\theta\)
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}\frac{csc^{2}\theta-1}{csc^{2}\theta}&=&\frac{csc^{2}\theta}{csc^{2}\theta}-\frac{1}{csc^{2}\theta}\\&=&1-sin^{2}\theta\\&=&cos^{2}\theta\hspace{1mm}(terbukti)\end{eqnarray}\)

  5. Notasi Sigma
    Tulislah dengan batas bawah 1 (tanpa perhitungan) !
    1. \(\begin{eqnarray}\sum_{k=5}^{10}\frac{k+1}{k-2}=...\end{eqnarray}\)
    2. \(\begin{eqnarray}\sum_{k=7}^{10}3k^{2}=...\end{eqnarray}\)
    3. \(\begin{eqnarray}\sum_{n=8}^{13}n^{2}-3n+8=...\end{eqnarray}\)
    Jawab :

    1. \(\begin{eqnarray}\sum_{k=5}^{10}\frac{k+1}{k-2}&=&\sum_{k=5-4}^{10-4}\frac{(k+4)+1}{(k+4)-1}\\&=&\sum_{k=1}^{6}\frac{k+5}{k+3}\end{eqnarray}\)

    2. \(\begin{eqnarray}\sum_{k=7}^{10}3k^{2}&=&\sum_{k=7-6}^{10-6}3(k+6)^{2}\\&=&\sum_{k=1}^{4}3(k^{2}+12k+36)\\&=&\sum_{k=1}^{4}3k^{2}+36k+108\end{eqnarray}\)

    3. \(\begin{eqnarray}\sum_{n=8}^{13}n^{2}-3n+8&=&\sum_{n=8-7}^{13-7}(n+7)^{2}-3(n+7)+8\\&=&\sum_{n=1}^{6}(n^{2}+14n+49)-3n-21+8\\&=&\sum_{n=1}^{6}n^{2}+11n+36\end{eqnarray}\)

  6. Notasi Sigma
    Buktikan !

    1. \(\begin{eqnarray}\sum_{k=1}^{n}(5k-3)^{2}=25\sum_{k=1}^{n}k^{2}-30\sum_{k=1}^{n}k+9n\end{eqnarray}\)

    2. \(\begin{eqnarray}\sum_{n=6}^{12}n^{2}=\sum_{n=1}^{7}n^{2}+10\sum_{n=1}^{7}k+175\end{eqnarray}\)
    Jawab :

    1. \(\begin{eqnarray}\sum_{k=1}^{n}(5k-3)^{2}&=&\sum_{k=1}^{n}(25k^{2}-30k+9)\\&=&\sum_{k=1}^{n}25k^{2}-\sum_{k=1}^{n}30k+\sum_{k=1}^{n}9\\&=&25\sum_{k=1}^{n}k^{2}-30\sum_{k=1}^{n}k+9n\hspace{1mm}(terbukti)\end{eqnarray}\)

    2. \(\begin{eqnarray}\sum_{n=6}^{12}n^{2}&=&\sum_{6-5}^{12-5}(n+5)^{2}\\&=&\sum_{1}^{7}(n^{2}+10n+25)\\&=&\sum_{1}^{7}n^{2}+\sum_{1}^{7}10n+\sum_{1}^{7}25\\&=&\sum_{1}^{7}n^{2}+10\sum_{1}^{7}n+(25\times7)\\&=&\sum_{1}^{7}n^{2}+10\sum_{1}^{7}n+175\hspace{1mm}(terbukti)\end{eqnarray}\)

  7. Induksi Matematika
    Buktikan deret berikut dengan induksi matematika !
    \[1+3+6+10+...+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\]
    Jawab :
    1. untuk n=1 benar
      \[\begin{eqnarray}\frac{1(1+1)}{2}&=&\frac{1(1+1)(1+2)}{6}\\\frac{1(2)}{2}&=&\frac{1(2)(3)}{6}\\\frac{2}{2}&=&\frac{6}{6}\\1&=&1\end{eqnarray}\]
    2. asumsi untuk n=k benar
      \[1+3+6+10+...+\frac{k(k+1)}{2}=\frac{k(k+1)(k+2)}{6}\]
    3. akan dibuktikan bahwa n=k+1 benar
      \[\begin{eqnarray}1+3+6+10+...+\frac{k(k+1)}{2}+\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}&=&\frac{k(k+1)(k+2)}{6}+\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\\&=&\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{6}\\&=&\frac{(k+1)(k+2)[k+3]}{6}\hspace{1mm}(terbukti)\end{eqnarray}\]

  8. Induksi MatematikaBuktikan dengan Induksi Matematika !
    \[\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}-...-\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{n}}\]
    Jawab :
    1. untuk n=1 benar
      \[\begin{eqnarray}\frac{1}{2^{1}}&=&\frac{1}{2^{1}}\\\frac{1}{2}&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray}\]
    2. asumsi untuk n=k benar
      \[\begin{eqnarray}\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}-...-\frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2^{k}}\end{eqnarray}\]
    3. akan dibuktikan bahwa n=k+1 benar
      \[\begin{eqnarray}\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}-...-\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}}&=&\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2^{k+1}}\\&=&\frac{1}{2^{k}}-\frac{1}{2.2^{k}}\\&=&\frac{1}{2^{k}}(1-\frac{1}{2})\\&=&\frac{1}{2^{k}}.\frac{1}{2}\\&=&\frac{1}{2^{k}.2}\\&=&\frac{1}{2^{k+1}}\hspace{1mm}(terbukti)\end{eqnarray}\]

Demikian contoh soal matematika peminatan SMA dan pembahasan semester ganjil. Semoga bisa bermanfaat juga untuk teman-teman ya..

Belum ada Komentar untuk "Contoh Soal Matematika Peminatan SMA Semester Ganjil"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel