Iklan Responsif Teks dan Gambar

Matematika 11 IPA - Program Linear, Model Matematika & Contoh Soal

Program linier adalah salah satu materi yang mempelajari tentang bagaimana kita bisa mengetahui nilai optimum dari persoalan pertidaksamaan linier. Pada materi ini terdapat model matematika dan fungsi objektif / fungsi tujuan. Berikut penjelasannya :

Model Matematika

Model matematika merupakan cara untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari permasalahan matematika dengan mengubah permasalahan tersebut menjadi pertidaksamaan linier.

Contoh soal :
Pak Zulkarnain menjual buah jeruk dan salak di pasar dekat rumahnya. Ia membeli jeruk seharga Rp 20.000,-/kg dan salak seharga Rp 30.000,-/kg. Ia memiliki modal sebesar Rp 1.200.000,- dan buah yang hanya bisa ia tampung adalah sebanyak 50 kg. Maka tentukanlah model matematikanya !
Jawab :
misal x = banyak buah jeruk 
y = banyak buah salak
Terdapat dua kendala pada soal ini :
1. Modal yang dimiliki
\(20.000x + 30.000y \leq 1.200.000\)
(alasan \(\leq\) karena modal maksimal adalah Rp 1.200.000, artinya tidak lebih (\(\leq\)) dari Rp 1.200.000)
kemudian sederhanakan (bila bisa),
\(\begin{eqnarray}20.000x + 30.000y &\leq& 1.200.000 \hspace{2mm}(:10.000)\\2x+3y&\leq&120\end{eqnarray}\)
2. Daya tampung buah
\(x+y\leq50\)

lalu karena buah jeruk dan salak tidak mungkin bernilai negatif, maka \(x\geq0\) dan \(y\geq0\).
Sehingga model matematikanya adalah :
\(\begin{eqnarray}2x+3y\leq120\\x+y\leq50\\x\geq0\\y\geq0\end{eqnarray}\)

Fungsi Objektif


Fungsi Objektif adalah pernyataan matematika dalam bentuk pertidaksamaan linier yang bertujuan untuk menentukan nilai optimum dari sebuah permasalahan.

Contoh soal :
Pak Agus membeli ikan lele dan ikan bawal yang akan ia jual kembali. Harga ikan lele Rp 25.000,-/ekor dan ikan bawal Rp 40.000,-/ekor. Jumlah ikan yang bisa ia bawa pulang tidak lebih dari 30 ekor, dan modal yang ia miliki tidak lebih dari Rp 1.000.000,- . Jika Ia menjual kembali ikan lele seharga Rp 28.000,-/ekor dan  ikan bawal seharga Rp 45.000,-/ekor. Maka tentukan keuntungan maksimum yang Pak Agus terima.

Jawab :
x = banyak ikan lele
y = banyak ikan bawal
fungsi kendala :
1. Modal untuk beli ikan
    \(\begin{eqnarray}25.000x+40.000y&\leq&1.000.000\hspace{3mm}(:5000)\\5x+8y&\leq&200\end{eqnarray}\)
2. Jumlah ikan
    \(x+y\leq30\)
3. \(x\geq0\)
4. \(y\geq0\)
fungsi objektif : \(f(x,y)=3000x+5000y\)
Langkah-langkah :
a. tentukan titik potong
\(x+y\leq30\)
\(x=0\) maka \(y=30\) \(\rightarrow(0,30)\)
\(x=30\) maka \(y=0\) \(\rightarrow(30,0)\)

\(5x+8y\leq200\)
\(x=0\) maka \(y=25\) \(\rightarrow(0,25)\)
\(x=40\) maka \(y=0\) \(\rightarrow(40,0)\)

b. lukiskan fungsi linier dengan menghubungkan titik potong yang telah diperoleh. Seperti gambar di bawah ini.
Kemudian dari gambar di samping, terlihat titik-titik optimum (pojok) yang membatasi daerah himpunan penyelesaian. Lalu ada sebuah titik optimum yang merupakan perpotongan dua garis, maka haruslah dilakukan eliminasi untuk memperoleh titik potong tersebut. Berikut eliminasinya :
\(\begin{eqnarray}x+y=30\hspace{3mm}(\times 5)\hspace{1mm}5x+5y&=&150\\5x+8y&=&200\\------&-&-\\-3y&=&-50\\y&=&\frac{50}{3}\\x&=&\frac{40}{3}\end{eqnarray}\)
maka titik-titik optimumnya adalah : (0,25),(30,0),dan (\(\frac{40}{3},\frac{50}{3}\)).

c. Tentukan nilai optimum dengan cara subtitusi titik-titik optimum ke dalam fungsi objektif.
\(\begin{eqnarray}f(x,y)&:&3000x+5000y\\(0,25)&:&3000(0)+5000(25)=125.000\\(30,0)&:&3000(30)+5000(0)=90.000\\(\frac{40}{3},\frac{50}{3})&:&3000(\frac{40}{3})+5000(\frac{50}{3})=\frac{370.000}{3}\approx. 123.333\end{eqnarray}\)

Kesimpulan
keuntungan maksimum yang diperoleh Pak Agus adalah Rp 125.000 dengan komposisi hanya ikan bawal sebanyak 25 ekor.

Demikian materi program linear serta contoh soalnya.
Semoga bermanfaat.

Belum ada Komentar untuk "Matematika 11 IPA - Program Linear, Model Matematika & Contoh Soal"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel