Iklan Responsif Teks dan Gambar

Pertidaksamaan Eksponen (Matematika 10 IPA) 2

Pada artikel sebelumnya telah dibahas tentang persamaan eksponen. Pada kesempatan kali ini akan kami berikan contoh soal sekaligus pembahasan tentang pertidaksamaan eksponen.

Pertidaksamaan Eksponen

Berikut beberapa teorema yang bisa kalian pahami untuk pengerjaan soal pertidaksamaan :

Untuk \(p>0\)
\(p^{f(x)} \geq p^{g(x)};\hspace{1mm}maka\hspace{1mm}f(x) \geq g(x)\)
\(p^{f(x)} \leq p^{g(x)};\hspace{1mm}maka\hspace{1mm}f(x) \leq g(x)\)

Untuk \(0<p<1\)
\(p^{f(x)} \geq p^{g(x)};\hspace{1mm}maka\hspace{1mm}f(x) \leq g(x)\)
\(p^{f(x)} \leq p^{g(x)};\hspace{1mm}maka\hspace{1mm}f(x) \geq g(x)\)

Contoh Soal :
  1. Tentukan himpunan penyelesaian dari \((\frac{1}{3})^{3-2x}\leq 81^{x+3}\) !
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}(\frac{1}{3})^{3-2x}&\leq&81^{x+3}\\3^{-1(3-2x)}&\leq&3^{4(x+3)}\\3^{2x-3}&\leq&3^{4x+12}\\karena\hspace{1mm}3>0 maka\\2x-3&\leq&4x+12\\2x-4x&\leq&12+3\\-2x&\leq&15\\x&\geq&-\frac{15}{2}\end{eqnarray}\)
    Sehingga HP adalah : {\(x\geq -\frac{15}{2}\)}
  2. Himpunan penyelesaian dari \((\frac{1}{2})^{x^{2}+x}>(\frac{1}{2})^{x+4}\) adalah ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}karena \frac{1}{2}<0, maka\\x^{2}+x &<& x+4\\x^{2}+x-x-4&<&0\\x^{2}-4&<&0\\(x+2)(x-2)&<&0\end{eqnarray}\)
    diperoleh :
     \(\begin{eqnarray}x-2&=&0\\x&=&2\end{eqnarray}\)
    dan
     \(\begin{eqnarray}x+2&=&0\\x&=&-2\end{eqnarray}\)
    kemudian buat garis bilangan, dan tentukan tanda (+ / -) untuk setiap ruas bilangan. Kemudian pilih sembarang nilai x (kecuali x = -2, dan x = 2), misal x = 0. Subtitusikan ke dalam \((x+2)(x-2)\), maka akan diperoleh \((0+2)(0-2)=-4\) (bernilai negatif).
    Karena x = 0 mewakili ruas tengah pada garis bilangan di atas, maka ruas tengah diberi tanda negatif. Sedangkan yang kanan dan kirinya positif (selalu berbeda tanda tiap ruas).
    karena pada bentuk terakhir \((x+2)(x-2) < 0\), maka yang dipilih haruslah bertanda negatif.
    Sehingga kesimpulannya adalah :
    \(\therefore\) HP : {\(2 < x < 2\)}.

Pertumbuhan & Peluruhan

Pertumbuhan

Rumus : \(S_{t}=S_{0}(1 + r)^{t}\)
Keterangan :
\(S_{t}\) = Jumlah objek/sesuatu pada saat periode(waktu) ke-t
\(S_{0}\) = Jumlah objek/sesuatu pada saat periode(waktu) awal / mula-mula
r = rasio / persentase pertumbuhan
t = periode / waktu

Contoh :
Pada kota A jumlah kelahiran bayi pada tahun 2015 adalah 5.000 jiwa. Menurut data BPS (Badan Pusat Statistik) setempat tingkat kelahiran bayi tiap tahun di kota A adalah 5%. Tentukan prediksi jumlah kelahiran bayi pada tahun 2019 !
Jawab :
t = 2019 - 2015 = 4 tahun
r = 5% / tahun = 0,05 /tahun
\(S_{0}\) = 5.000 jiwa
\(\begin{eqnarray}S_{t}=S_{4}&=& 5.000(1+0,05)^{4}\\&=&5.000(1+\frac{5}{100})^{4}\\&=&5.000(1+0,05)^4\\&=&5.000(1,05)^4\\&=&5.000(1.21550625)\\&\approx&6.078\end{eqnarray}\)
Sehingga prediksi jumlah kelahiran bayi pada tahun 2019 adalah 6.078 jiwa.

Peluruhan

Rumus : \(S_{t}=S_{0}(1 - b)^{t}\)
Keterangan :
\(S_{t}\) = Jumlah objek/sesuatu pada saat periode(waktu) ke-t
\(S_{0}\) = Jumlah objek/sesuatu pada saat periode(waktu) awal / mula-mula
b = rasio / persentase peluruhan
t = periode / waktu

Contoh :
Pak Furqon memiliki sepeda yang Ia beli 3 tahun lalu seharga Rp 2.000.000,-. Saat ini Ia berkeinginan menjual sepedanya, namun nilai jualnya tidak sama seperti saat Ia beli saat itu. Nilai jualnya turun 10%/tahun. Tentukan harga jual sepeda Pak Furqon saat ini !
Jawab :
t = 3 tahun
b = 10% / tahun = 0,1 /tahun
\(S_{0}\) = Rp 2.000.000
\(\begin{eqnarray}S_{t}= S_{3}&=&2.000.000(1-0,1)^3\\&=&2.000.000(0,9)^3\\&=&2.000.000(0,729)\\&=&1.458.000\end{eqnarray}\)
Sehingga harga jual sepeda Pak Furqon saat ini adalah Rp 1.458.000,-.

Demikian materi pertidaksamaan eksponen, Berikut kami berikan contoh soal lain terkait pertidaksamaan eksponen :
  1. \(2^{2019}-2^{2018}=a^{b}\), nilai dari \(a+b\) adalah ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}2^{2019}-2^{2018}&=&2^{2018}(2-1)\\&=&2^{2018}(1)\\&=&2^{2018}\end{eqnarray}\)
    nilai a = 2, dan nilai b = 2018
    maka a + b = 2 + 2018 = 2020
  2. Jika hasil dari bentuk \(\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{...}}}}} > 0\), maka nilai yang mungkin adalah ...
    Jawab :
    Misal x = \(\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{...}}}}}\)
    maka :
    \(\begin{eqnarray}\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{...}}}}}&=&\sqrt{4x}\\x&=&\sqrt{4x}\\x^{2}&=&4x\\x^{2}-4x&=&0\\x(x-4)&=&0\end{eqnarray}\)
    x = 0 dan x = 4.
    maka nilai yang mungkin dari \(\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{...}}}}}\) adalah 4
  3. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut \(125^{x+5}<5^{x^{2}-3}\) adalah ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}125^{x+5}&<&5^{x^{2}-3}\\5^{3(x+5)}&<&5^{x^{2}-3}\end{eqnarray}\)
    karena 5 > 0, maka :
    \(\begin{eqnarray}3x+15&<&x^{2}-3\\x^{2}-3-3x-15&>&0\\x^{2}-3x-18&>&0\\(x-6)(x+3)&>&0\\x=6\hspace{1mm}dan\hspace{1mm}x&=&-3\end{eqnarray}\)
    Kemudian gunakan garis bilangan untuk menentukan tanda (+ / -) dari masing-masing ruas. Berikut gambarnya :
    Dengan cara yang sama seperti di atas (pilih nilai x sembarang yang mewakili ruas garis bilangan diatas).
    Maka himpunan penyelesaian soal ini adalah :
    \(\therefore -3 < x < 6\).

SEMOGA BERMANFAAT

Belum ada Komentar untuk "Pertidaksamaan Eksponen (Matematika 10 IPA) 2"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel