Iklan Responsif Teks dan Gambar

Contoh Soal Cerdas Cermat Matematika SMA dan Jawabannya

soal cerdas cermat matematika sma dan jawabannya
Ngerjainpr - Bagi teman-teman kelas 10,11, atau 12 SMA yang akan ikut seleksi cerdas cermat pelajaran matematika, tentu akan perlu latihan soal demi bisa lolos seleksi tersebut. Tidak adad banyak perbedaan pada soal cerdas cermat dengan soal biasa. Karena dasar matematika diperlukan dalam kedua jenis soal tersebut. Untuk itu kami sediakan contoh soal cerdas cermat matematika SMA dan jawabannya yang bisa teman-teman gunakan dalam latihan. Yuk langsung saja cek soal berikut jawabannya.
  1. Diketahui empat titik A, B, C, dan D yang berada pada lingkaran. Jika panjang AB = 5 cm, BC = CD = 4 cm, dan DA = 7 cm. Besar cosinus sudut BAD adalah ..
    1. \(\frac{14}{51}\)
    2. \(\frac{7}{51}\)
    3. \(\frac{21}{51}\)
    4. \(\frac{28}{51}\)
    5. \(\frac{35}{51}\)
    Jawab :
    Hubungan sudut P dan sudut R :
    \(\begin{eqnarray}\angle A+\angle C&=&180^{o}\\\angle C&=&180^{o}-\angle A\\cos\angle C&=&cos\angle (180^{o}-A)\\cos\angle C&=&-cos\angle A\\cos\angle BCD&=&-cos\angle BAD\end{eqnarray}\)
    maka,
    \(\begin{eqnarray}cos\angle BAD&=&\frac{(BA)^{2}+(AD)^{2}-(BD)^{2}}{2\cdot BA\cdot AD}\\&=&\frac{5^{2}+7^{2}-(BD)^{2}}{2\cdot 5\cdot 7}\\cos\angle BAD&=&\frac{25+49-(BD)^{2}}{70}\\(BD)^{2}&=&74-70\hspace{1mm}cos\angle BAD\end{eqnarray}\)
    dan,
    \(\begin{eqnarray}cos\angle BCD&=&\frac{(BC)^{2}+(CD)^{2}-(BD)^{2}}{2\cdot BC\cdot CD}\\&=&\frac{4^{2}+4^{2}-(BD)^{2}}{2\cdot 4\cdot 4}\\cos\angle BCD&=&\frac{16+16-(BD)^{2}}{32}\\(BD)^{2}&=&32-32\hspace{1mm}cos\angle BCD\end{eqnarray}\)
    sehingga,
    \(\begin{eqnarray}(BD)^{2}&=&(BD)^{2}\\74-70\hspace{1mm}cos\angle BAD&=&32-32\hspace{1mm}cos\angle BCD\\74-70\hspace{1mm}cos\angle BAD&=&32-32\hspace{1mm}(-cos\angle BAD)\\74-70\hspace{1mm}cos\angle BAD&=&32+32\hspace{1mm}cos\angle BAD\\-102\hspace{1mm}cos\angle BAD&=&-42\\cos\angle BAD&=&\frac{-42}{-102}\\cos\angle BAD&=&\frac{21}{51}\end{eqnarray}\)
    Kunci C.
  2. Jika \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}{x}=b\), maka \(\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x}=...\)
    1. \(a^{2}\)
    2. \(\frac{1}{\sqrt{a}}\)
    3. \(\sqrt{a}\)
    4. \(\sqrt{\sqrt{a}}\)
    5. \(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{a}}}\)
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}{x}&=&b\\\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x})}{x}\times\frac{(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x})}{(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x})}&=&b\\\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a+x-(a-x)}{x(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x})}&=&b\\\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x}{x(\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x})}&=&b\\\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2}{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}&=&b\\\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{a}}&=&b\\\frac{2}{2\sqrt{a}}&=&b\\\frac{1}{\sqrt{a}}&=&b\end{eqnarray}\)
    Dengan cara yang serupa :
    \(\begin{eqnarray}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{b+x}-\sqrt{b-x}}{x}&=&\frac{1}{\sqrt{b}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a}}}}\\&=&\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{\sqrt{a}}}}\\&=&\sqrt{\sqrt{a}}\end{eqnarray}\)
    Kunci D.
  3. Harry, Shinta, Ocy, Deby, dan Yuni akan duduk secara acak pada lima kursi yang berderet dari kiri ke kanan. Peluang Harry dan Shinta duduk selalu berdampingan adalah ...
    1. \(\frac{3}{5}\)
    2. \(\frac{2}{5}\)
    3. \(\frac{1}{24}\)
    4. \(\frac{1}{60}\)
    5. \(\frac{1}{120}\)
    Jawab :
    Harry dan Shinta selalu berdampingan, maka dalam hal ini dianggap menjadi satu kesatuan. Sehingga terdapat 4 orang (karena Harry dan Shinta dijadikan satu). Maka komposisi pasangan duduk dari keempat orang tersebut adalah : \(4!=24\) kemungkinan.
    Komposisi Harry dan Shinta : \(2!=2\)
    Maka banyaknya komposisi Harry dan Shinta selalu berdampingan adalah : \(24\times 2=48\)
    Sehingga peluang Harry dan Shinta selalu duduk berdampingan adalah : \(\frac{48}{5!}=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}\)
    Kunci B.
  4. Garis g menghubungkan titik A\((5,0)\) dan B\((10\hspace{1mm}cos\theta,10\hspace{1mm}sin\theta)\). Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika \(\theta\) berubah dari 0 sampai \(2\pi\), maka titik P bergerak menelusuri kurva yang berupa ...
    1. Lingkaran \(x^{2}+y^{2}-4y=32\)
    2. Lingkaran \(x^{2}+y^{2}-6x=7\)
    3. Ellips \(x^{2}+y^{2}+4y-4x=32\)
    4. Parabola \(x^{2}-4y=7\)
    5. Parabola \(y^{2}-4x=32\)
    Jawab :
    Vektor posisi P(x,y) :
    \(\begin{eqnarray}AP:PB&=&2:3\\\frac{P-A}{B-P}&=&\frac{2}{3}\\3(P-A)&=&2(B-P)\\3P-3A&=&2B-2P\\5P&=&2B+3A\\P&=&\frac{3A+2B}{5}\\(x,y)&=&\frac{3(5,0)+2(10\hspace{1mm}cos\theta,10\hspace{1mm}sin\theta)}{5}\\(x,y)&=&\frac{(15,0)+(20\hspace{1mm}cos\theta,20\hspace{1mm}sin\theta)}{5}\\(x,y)&=&(3,0)+(4\hspace{1mm}cos\theta,4\hspace{1mm}sin\theta)\\(x,y)&=&(3+4\hspace{1mm}cos\theta,4\hspace{1mm}sin\theta)\end{eqnarray}\)
    Maka :
    \(\begin{eqnarray}x&=&3+4\hspace{1mm}cos\theta\\x-3&=&4\hspace{1mm}cos\theta\\cos\theta&=\frac{x-3}{4}&\end{eqnarray}\)
    dan
    \(\begin{eqnarray}y&=&4\hspace{1mm}sin\theta\\sin\theta&=&\frac{y}{4}\end{eqnarray}\)
    Ingat identitas trigonometri :
    \(\begin{eqnarray}sin^{2}\theta+cos^{2}\theta&=&1\\(\frac{y}{4})^{2}+(\frac{x-3}{4})^{2}&=&1\\\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}-6x+9}{16}&=&1\hspace{5mm}(\times 16)\\y^{2}+x^{2}-6x+9&=&16\\x^{2}+y^{2}-6x&=&7\end{eqnarray}\)
    Kunci B.
  5. Banyak anggota himpunan pasangan berurutan dari penyelesaian sistem persamaan :
    \[\left\{\begin{matrix}x+xy+y&=&11\\x^{2}y+xy^{2}&=&30\end{matrix}\right.\]
    adalah ...
    1. 2
    2. 3
    3. 4
    4. 5
    5. 6
    Jawab :
    Pada persamaan kedua :
    \(\begin{eqnarray}x^{2}y+xy^{2}&=&30\\xy(x+y)&=&30\\x+y&=&\frac{30}{xy}\end{eqnarray}\)
    Subtitusi ke persamaan pertama :
    \(\begin{eqnarray}x=xy+y&=&11\\x+y+xy&=&11\\\frac{30}{xy}+xy&=&11\hspace{5mm}(\times xy)\\30+(xy)^{2}&=&11xy\\(xy)^{2}-11xy+30&=&0\\(xy-5)(xy-6)&=&0\\xy=5\hspace{2mm}atau\hspace{2mm}xy&=&6\end{eqnarray}\)

    Untuk \(xy=5\)
    \(x=\frac{5}{y}\), subtitusi ke persamaan pertama :
    \(\begin{eqnarray}x+xy+y&=&11\\\frac{5}{y}+\frac{5}{y}y+y&=&11\hspace{5mm}(\times y)\\5+5y+y^{2}&=&11y\\y^{2}-6y+5&=&0\\(y-5)(y-1)&=&0\\y=5\hspace{2mm}atau\hspace{2mm}y&=&1\\x=1\hspace{2mm}atau\hspace{2mm}x&=&5\end{eqnarray}\)
    Maka himpunan pasangan berurutan : \((1,5),(5,1)\)

    Untuk \(xy=6\)
    \(x=\frac{6}{y}\), subtitusi ke persamaan pertama :
    \(\begin{eqnarray}x+xy+y&=&11\\\frac{6}{y}+\frac{6}{y}y+y&=&11\hspace{5mm}(\times y)\\6+6y+y^{2}&=&11y\\y^{2}-5y+6&=&0\\(y-3)(y-2)&=&0\\y=3\hspace{2mm}atau\hspace{2mm}y&=&2\\x=2\hspace{2mm}atau\hspace{2mm}x&=&3\end{eqnarray}\)
    Maka himpunan pasangan berurutan : \((2,3),(3,2)\)

    Kesimpulannya terdapat empat himpunan pasangan berurutan.
    Kunci C.
  6. Harga x yang memenuhi persamaan \((\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{x}-(\sqrt{3-2\sqrt{2}})^{x}=\frac{3}{2}\) adalah ...
    1. \(^{(3-\sqrt{2})}log\hspace{1mm}2\)
    2. \(^{(3-\sqrt{2})}log\hspace{1mm}3\)
    3. \(^{(1+\sqrt{2})}log\hspace{1mm}2\)
    4. \(^{(\sqrt{2})}log (1+\sqrt{2})\)
    5. \(^{(\sqrt{3})}log\hspace{1mm}2\)
    Jawab :
    Bentuk : \(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{a\times b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
    Maka :
    \(\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(2+1)+2\sqrt{2\times 1}}=\sqrt{2}+\sqrt{1}=\sqrt{2}+1\)
    \(\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(2+1)-2\sqrt{2\times 1}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}=\sqrt{2}-1\)
    \(\begin{eqnarray}(\sqrt{2}-1)\times\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\end{eqnarray}\)
    Sehingga persamaannya menjadi :
    \(\begin{eqnarray}(\sqrt{3+2\sqrt{2}})^{x}-(\sqrt{3-2\sqrt{2}})^{x}&=&\frac{3}{2}\\(\sqrt{2}+1)^{x}-(\sqrt{2}-1)^{x}&=&\frac{3}{2}\\(\sqrt{2}+1)^{x}-(\frac{1}{\sqrt{2}+1})^{x}&=&\frac{3}{2}\\misal\hspace{1mm}(\sqrt{2}+1)&=&a\\a^{x}+(\frac{1}{a})^{x}&=&\frac{3}{2}\hspace{5mm}\times (2a^{x})\\2a^{2x}+2&=&3a^{x}\\2a^{2x}-3a^{x}+2&=&0\\(2a^{x}+1)(a^{x}-2)&=&0\\a^{x}=-\frac{1}{2}\hspace{2mm}atau\hspace{2mm}a^{x}&=&2\end{eqnarray}\)
    Untuk \(a^{x}=-\frac{1}{2}\) tidak ada yang memenuhi.
    Untuk
    \(\begin{eqnarray}a^{x}&=&2\\x&=&^{a}log\hspace{1mm}2\\x&=&^{(\sqrt{2}+1)}log\hspace{1mm}2\end{eqnarray}\)
    Kunci C.
  7. Tria menggambar bagain dari parabola \(y=x^{2}+2x-8\). Titik-titik yang muncul dalam gambar memiliki absis mulai dari -3 sampai dari +2. Maka ordinat terkecil dan terbesar titik-titik parabola yang muncul dalam gambar berturut-turut adalah ...
    1. -9 dan -4
    2. -8 dan 0
    3. -9 dan -8
    4. -9 dan 0
    5. -8 dan -5
    Jawab :
    Sumbu simetri : \(x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2(1)}=-1\)
    Maka nilai minimum (ordinat minimum) : \(y=(-1)^{2}+2(-1)-8=-9\)
    Nilai maksimum (ordinat maksimum) : \(y=(2)^{2}+2(2)-8=0\)
    Maka ordinat terkecil dan terbesar adalah -9 dan 0.
    Kunci D.
  8. Suatu perusahaan pembuat kertas membuat tempat es krim berbentuk kerucut. Tinggi setiap tempat es krim 13 cm lebihnya dari panjang jari-jari. Jika volume setiap tempat es krim adalah \(48\pi\hspace{1mm}cm^{3}\), tinggi tempat es krim adalah ... \(cm\).
    1. 14
    2. 15 
    3. 16
    4. 17
    5. 18
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}V_{kerucut}&=&\frac{1}{3}\times\pi\times r^{2}\times t\\48\pi&=&\frac{1}{3}\pi\times r^{2}\times (r+13)\\144&=&r^{2}(r+13)\\r^{3}+13r^{2}-144&=&0\\(r-3)(r^{2}+16r+48)&=&0\\(r-3)(r+12)(r+4)&=&0\\r=3\hspace{1mm}r=-12\hspace{1mm}r&=&-4\end{eqnarray}\)
    Hanya r=3 yang memenuhi.
    Maka tinggi tempat es krim tersebut adalah : \(t=r+13=3+13=16\hspace{1mm}cm\).
    Kunci C.
  9. Jika \(\alpha,\beta,\gamma\) adalah akar-akar persamaan \(x^{3}+11x^{2}+3x-135=0\) dimana \(\gamma<\beta<\alpha\), nilai dari \(\frac{1-\alpha}{1+\beta}+\frac{1+\beta}{1-\gamma}+\frac{1-\gamma}{1+\alpha}\) adalah ...
    1. \(2\frac{4}{5}\)
    2. \(1\frac{7}{8}\)
    3. \(2\frac{3}{5}\)
    4. \(2\frac{6}{8}\)
    5. \(1\frac{3}{5}\)
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}x^{3}+11x^{2}+3x-135&=&0\\(x-3)(x+5)(x+9)&=&0\\x=3\hspace{1mm}atau\hspace{1mm}x=-5\hspace{1mm}atau\hspace{1mm}x&=&-9\end{eqnarray}\)
    maka \(\alpha=3,\beta=-5,\gamma=-9\)
    Sehingga \(\begin{eqnarray}\frac{1-\alpha}{1+\beta}+\frac{1+\beta}{1-\gamma}+\frac{1-\gamma}{1+\alpha}&=&\frac{1-3}{1-5}+\frac{1-5}{1-(-9)}+\frac{1-(-9)}{1+3}\\&=&\frac{1}{2}-\frac{2}{5}+\frac{5}{2}\\&=&\frac{5-4+25}{10}\\&=&\frac{26}{10}\\&=&2\frac{6}{10}\\&=&2\frac{3}{5}\end{eqnarray}\)
    Kunci C.
  10. Tempat duduk di dalam suatu kereta dibagi menjadi tiga kelas, yakni kelas ekonomi,bisnis, dan eksekutif. Harga masing-masing tiket adalah Rp.100.000,00 (ekonomi),Rp.125.000,00 (bisnis), dan Rp.150.000,00 (eksekutif). Seluruh tiket habis terjual dan uang hasil penjualan adalah Rp.23.125.000,00. Jika jumlah maksimum penumpang kelas ekonomi adalah \(\frac{1}{3}\) lebihnya dari jumlah maksimum penumpang kelas bisnis dan jumlah penumpang kelas eksekutif \(\frac{2}{3}\) kurangnya dari jumlah maksimum penumpang kelas bisnis, jumlah maksimum penumpang dalam kereta adalah….. orang.
    1. 325
    2. 250
    3. 275
    4. 300
    5. 200
    Jawab :
    x = penumpang kelas ekonomi
    y = penumpang kelas bisnis
    z = penumpang kelas eksekutif
    \(\begin{eqnarray}100.000x+125.000y+150.000z&=&23.125.000\\4x+5y+6z&=&925\hspace{5mm}(pers.1)\end{eqnarray}\)
    \(\begin{eqnarray}x&=&y+\frac{1}{3}y\\x&=&\frac{4}{3}y\hspace{5mm}(pers.2)\end{eqnarray}\)
    \(\begin{eqnarray}z&=&y-\frac{2}{3}y\\z&=&\frac{1}{3}y\hspace{5mm}(pers.3)\end{eqnarray}\)
    Subtitusi pers.2 dan pers.3 ke pers.1 :
    \(\begin{eqnarray}4x+5y+6z&=&925\\4(\frac{4}{3}y)+5y+6(\frac{1}{3}y)&=&925\hspace{5mm}\times(3)\\16y+15y+6y&=&2775\\37y&=&2775\\y&=&75\end{eqnarray}\)
    Subtitusi ke pers.2 : \(x=\frac{4}{3}(75)=100\)
    Subtitusi ke pers.3 : \(z=\frac{1}{3}(75)=25\)
    Maka jumlah penumpang dalam kereta adalah : \(100+75+25=200\) orang.
    Kunci E.
  11. Jumlah 9 bilangan adalah 32 lebih besar dari rata-rata kesembilan bilangan tersebut. Jumlah 9 bilangan tersebut adalah ...
    1. 32
    2. 36
    3. 40
    4. 44
    5. 46
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}x_{1}+x_{2}+...+x_{9}&=&32+(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{9}}{9})\hspace{5mm}\times (9)\\9(x_{1}+x_{2}+...+x_{9})&=&288+(x_{1}+x_{2}+...+x_{9})\\8(x_{1}+x_{2}+...+x_{9})&=&288\\x_{1}+x_{2}+...+x_{9}&=&36\end{eqnarray}\)
    Kunci B.
  12. Nilai-nilai m agar persamaan kuadrat \((m-5)x^{2}-4mx+(m-2)=0\) mempunyai akar-akar positif adalah ...
    1. \(m\leq -\frac{10}{3}\)
    2. \(m\leq -\frac{10}{3}\hspace{2mm}atau\hspace{2mm}m>5\)
    3. \(1\leq m<2\)
    4. \(m=0\)
    5. \(2\leq m<5\)
    Jawab :
    syarat akar-akar positif dari sebuah persamaan kuadrat \(ax^{2}+bx+c=0\) adalah \(a>0\) dan \(D<0\)
    syarat ke-1 :
    \(\begin{eqnarray}m-5&>&0\\m&>&5\end{eqnarray}\)
    syarat ke-2 :
    \(\begin{eqnarray}D&<&0\\b^{2}-4ac&<&0\\(-4m)^{2}-4(m-5)(m-2)&<&0\\16m^{2}-4(m^{2}-7m+10)&<&0\\12m^{2}+28m-40&<&0\\(3m+10)(m-1)&<&0\\m=-\frac{10}{3}\hspace{2mm}atau\hspace{2mm}m&=&1\end{eqnarray}\)
    Kesimpulan : tidak ada nilai m yang memenuhi ({} atau himpunan kosong).
    Kunci .
  13. Tentukan suku ke-2011 dari barisan 11,22,33, ...
    1. 20110
    2. 21211
    3. 22121
    4. 22122
    5. 22123
    Jawab :
    \(a=11\)
    \(b=11\)
    \(\begin{eqnarray}U_{2011}&=&a+(2011-1)b\\&=&a+2010b\\&=&11+2010(11)\\&=&11+22110\\&=&22121\end{eqnarray}\)
    Kunci C.
  14. Bila \(a^{3}-a-1=2011\), maka \(a^{4}+a^{3}-a^{2}-2a+1=...\)
    1. 0
    2. 2011a + 2012
    3. 2011a + 2013
    4. 2011a - 2013
    5. \(a^{3}+a+1\)
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}a^{4}+a^{3}-a^{2}-2a+1&=&a^{4}-a^2-a+2+a^{3}-a-1\\&=&a^{4}-a^2-a+2+2011\\&=&a(a^{3}-a-1)+2013\\&=&2011a+2013\end{eqnarray}\)
    Kunci C.
  15. Diketahui lingkaran dengan pusat (0,0) mempunyai jari-jari 3 serta garis \(\lambda\) yang melalui titik (-3,3) dan (2,5). Salah satu persamaan garis singgung lingkaran tersebut dan tegak lurus garis \(\lambda\) adalah ...
    1. \(y=\frac{3}{5}x+\sqrt{34}\)
    2. \(y=-\frac{3}{5}x-\sqrt{34}\)
    3. \(y=-\frac{5}{3}x+\sqrt{34}\)
    4. \(y=-\frac{5}{3}x+\sqrt{34}\)
    5. \(y=\frac{5}{3}x-5\sqrt{34}\)
    Jawab :
    gradien garis \(\lambda\) : \(\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{5-3}{2-(-3)}=\frac{2}{5}\)
    gradien garis yang tegak lurus garis \(\lambda\) : \(-\frac{5}{2}\)
    Persamaan garis singgung lingkaran pusat (0,0) dengan gradien m dan jari-jari r :
    \(\begin{eqnarray}y&=&mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\y&=&-\frac{5}{2}x\pm 3\sqrt{1+(-\frac{5}{2})^{2}}\\y&=&-\frac{5}{2}x\pm 3\sqrt{\frac{29}{4}}\\y&=&-\frac{5}{2}\pm \frac{3}{2}\sqrt{29}\end{eqnarray}\)
    Kunci .
Nah, demikianlah beberapa contoh soal cerdas cermat matematika SMA dan jawabannya. Bagi teman-teman yang ingin melihat soal lebih banyak bisa kunjungi situs soal cerdas cermat. Untuk latihan soal yang lain bisa kalian kunjungi di situs www.ngerjainpr.com . Semoga kalian bisa memahami materi ini dan bisa bermanfaat untuk semua.

Belum ada Komentar untuk "Contoh Soal Cerdas Cermat Matematika SMA dan Jawabannya"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel