Iklan Responsif Teks dan Gambar

Contoh Soal dan Pembahasan Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 2

Ngerjainpr - Hai adik-adik semua... pada kesempatan kali ini kami akan bahas contoh soal dan pembahasan vektor matematika peminatan kelas 10 semester 2 yang mungkin bisa bermanfaat guna membantu memahami soal-soal matematika peminatan di semester genap ini. Soal yang akan dibahas berasal dari pertanyaan siswa-siswa baik itu PR maupun tugas sekolah. Bab yang akan dibahas adalah vektor dan trigonometri. Untuk itu kita langsung saja cek soal dan pembahasannya.

Credit Picture by : https://pixabay.com/users/geralt-9301/

SIFAT VEKTOR

Jika \(\overrightarrow{p}\), \(\overrightarrow{q}\), \(\overrightarrow{r}\) adalah vektor di \(R^{2}\), \(R^{3}\) dan k adalah skalar tidak nol maka berlaku sifat :
matematika peminatan kelas 10

Soal & Jawaban

  1. Panjang vektor \(\overrightarrow{p}=\begin{bmatrix}3\\-4\end{bmatrix}\) adalah ...
    Jawab :
    \(|\overrightarrow{p}|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
  2. Jika vektor \(\overrightarrow{p}=\begin{bmatrix}3\\-2\\6\end{bmatrix}\) dan vektor \(\overrightarrow{q}=\begin{bmatrix}9\\0\\-15\end{bmatrix}\). Maka panjang vektor \(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}\) adalah ...
    Jawab :
    \(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}=\begin{bmatrix}3\\-2\\6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}9\\0\\-15\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12\\-2\\-9\end{bmatrix}\)
  3. Diketahui \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3}\), \(|\overrightarrow{b}|=1\), dan \(|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=1\). Maka panjang vektor \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) adalah ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|&=&\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}+|\overrightarrow{b}|^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\hspace{1mm}\alpha}\\1&=&\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}-2\cdot \sqrt{3}\cdot 1\cdot cos\hspace{1mm}\alpha}\\1^{2}&=&3+1-2\sqrt{3}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\alpha\\2\sqrt{3}\hspace{1mm}cos\hspace{1mm}\alpha&=&3\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{3}{2\sqrt{3}}\end{eqnarray}\)
    Maka nilai dari \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\) :
    \(\begin{eqnarray}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|&=&\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}+|\overrightarrow{b}|^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\hspace{1mm}\alpha}\\&=&\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}+2\cdot \sqrt{3}\cdot 1\cdot \frac{3}{2\sqrt{3}}}\\&=&\sqrt{3+1+3}\\&=&\sqrt{7}\end{eqnarray}\)
  4. Diketahui titik \(A(-1,5,2)\) dan titik \(B(5,-4,17)\), jika titik P membagi AB sehingga AP : PB = 2 : 1, maka vektor posisi dari P adalah ...
    Jawab :
    matematika peminatan kelas 10
    Rumus :
    \(Y=\frac{mZ+nX}{m+n}\)
    matematika peminatan kelas 10
    Maka vektor posisi P :
    \(\begin{eqnarray}P&=&\frac{2B+1A}{2+1}\\&=&\frac{2\begin{bmatrix}5\\-4\\17\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\5\\2\end{bmatrix}}{3}\\&=&\frac{\begin{bmatrix}10\\-8\\34\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-1\\5\\2\end{bmatrix}}{3}\\&=&\frac{\begin{bmatrix}9\\-3\\36\end{bmatrix}}{3}\\&=&\begin{bmatrix}3\\-1\\12\end{bmatrix}\end{eqnarray}\)
  5. Jika \(|\overrightarrow{a}|=4\), \(|\overrightarrow{b}|=6\), dan \(|\overrightarrow{a-b}|=2\sqrt{19}\), dan \(\alpha\) adalah besar sudut antara vektor \(\overrightarrow{a}\) dan vektor \(\overrightarrow{b}\), maka nilai dari \(cos\hspace{1mm}\alpha\) adalah ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}|\overrightarrow{a-b}|&=&\sqrt{|\overrightarrow{a}|^{2}+|\overrightarrow{b}|^{2}-2|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|cos\hspace{1mm}\alpha}\\2\sqrt{19}&=&\sqrt{4^{2}+6^{2}-2\cdot 4\cdot 6\cdot cos\hspace{1mm}\alpha}\\76&=&16+36-48\cdot cos\hspace{1mm}\alpha\\76-52&=&-48\cdot cos\hspace{1mm}\alpha\\24&=&-48\cdot cos\hspace{1mm}\alpha\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{24}{-48}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&-\frac{1}{2}\end{eqnarray}\)
  6. Sudut antara vektor \(\overrightarrow{p}=3i-6j+3k\) dengan vektor \(\overrightarrow{q}=-5j+5k\) adalah ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{p}|\cdot |\overrightarrow{q}|}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{3\cdot 0+(-6)\cdot(-5)+3\cdot 5}{\sqrt{3^{2}+(-6)^{2}+3^{2}}\cdot\sqrt{0^{2}+(-5)^{2}+r^{2}}}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{45}{\sqrt{54}\cdot\sqrt{50}}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{45}{3\sqrt{6}\cdot 5\sqrt{2}}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{45}{15\sqrt{12}}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{3}{2\sqrt{3}}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{3}{2\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{3}{6}\sqrt{3}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{1}{2}\sqrt{3}\\\alpha&=&60^{o}\end{eqnarray}\)
  7. Diberikan vektor \(\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\), \(\overrightarrow{b}=\begin{bmatrix}5\\4\\-1\end{bmatrix}\), dan \(\overrightarrow{c}=\begin{bmatrix}4\\-1\\1\end{bmatrix}\). Maka vektor \(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\) = ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}&=&\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}+2\begin{bmatrix}5\\4\\-1\end{bmatrix}-3\begin{bmatrix}4\\-1\\1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}10\\8\\-2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}12\\-3\\3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}1+10-12\\2+8-(-3)\\3+(-2)-3\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-1\\13\\-2\end{bmatrix}\end{eqnarray}\)
  8. Diketahui vektor \(\overrightarrow{a}=\begin{bmatrix}5\\2\\-3\end{bmatrix}\), dan vektor \(\overrightarrow{b}=\begin{bmatrix}x\\-1\\4\end{bmatrix}\). Jika vektor \(\overrightarrow{a}\) dan vektor \(\overrightarrow{b}\) saling tegak lurus. Maka nilai dari \(x-\frac{4}{5}\) adalah ...
    Jawab :
    \(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\) maka \(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\)
    \(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}&=&0\\5\cdot x+2\cdot (-1)+(-3)\cdot 4&=&0\\5x-2-12&=&0\\5x&=&14\\x&=&\frac{14}{5}\end{eqnarray}\)
    Nilai dari \(x-\frac{4}{5}=\frac{14}{5}-\frac{4}{5}=\frac{10}{5}=2\)
  9. Diketahui \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{6}\), \((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=0\) dan \(\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=3\). Jika \(\beta\) adalah sudut antara vektor \(\overrightarrow{a}\) dan vektor \(\overrightarrow{b}\), maka nilai dari \(sin\hspace{1mm}2\alpha\) adalah ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=&0\\\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b}&=&0\\|\overrightarrow{a}|^{2}-|\overrightarrow{b}|^{2}&=&0\\|\overrightarrow{a}|^{2}&=&|\overrightarrow{b}|^{2}\\|\overrightarrow{b}|^{2}&=&\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
    Sehingga :
    \(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})&=&3\\\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3\\(\sqrt{6})^{2}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3\\6-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3\\\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&3\end{eqnarray}\)
    Nilai \(\cos\hspace{1mm}\alpha\) :
    \(\begin{eqnarray}cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{3}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{3}{6}\\cos\hspace{1mm}\alpha&=&\frac{1}{2}\\\alpha&=&60^{o}\end{eqnarray}\)
    Nilai \(sin\hspace{1mm}2\alpha=sin\hspace{1mm}2(60^{o})=sin\hspace{1mm}120^{o}=\frac{1}{2}\sqrt{3}\)
  10. Titik \(A(3,2,-1)\), \(B(1,-2,1)\), \(C(7,x-1,-5)\) segaris. Maka nilai dari nilai \(x\) adalah ...
    Jawab :
    Segaris maka berlaku hubungan berikut :
    AB = k.BC ; dengan k adalah skalar.
    \(\begin{eqnarray}AB&=&k.BC\\B-A&=&k(C-B)\\\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}3\\2\\-1\end{bmatrix}&=&k(\begin{bmatrix}7\\x-1\\-5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix})\\\begin{bmatrix}-2\\-4\\2\end{bmatrix}&=&k(\begin{bmatrix}6\\x+1\\-6\end{bmatrix})\end{eqnarray}\)
    Untuk mengetahui nilai k, bisa melihat salah satu elemen dari persamaan di atas.
    \(\begin{eqnarray}-2&=&k\cdot 6\\k&=&-frac{1}{3}\end{eqnarray}\)
    Maka nilai x :
    \(\begin{eqnarray}-4&=&k(x+1)\\-4&=&-\frac{1}{3}(x+1)\\-12&=&x+1\\x&=&-13\end{eqnarray}\)
  11. Diketahui titik \(A(5,1,3)\), \(B(2,-1,-1)\), dan \(C(4,2,-4)\). Besar sudut ABC adalah ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}cos\hspace{1mm}B&=&\frac{AB\cdot BC}{|AB|\cdot|BC|}\\cos\hspace{1mm}B&=&\frac{(B-A)\cdot(C-B)}{|AB|\cdot|BC|}\\cos\hspace{1mm}B&=&\frac{(\begin{bmatrix}2\\-1\\-1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}5\\1\\3\end{bmatrix})\cdot(\begin{bmatrix}4\\2\\-4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\\-1\\-1\end{bmatrix})}{|AB|\cdot|BC|}\\cos\hspace{1mm}B&=&\frac{\begin{bmatrix}-3\\-2\\-4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}2\\3\\-3\end{bmatrix}}{\sqrt{(-3)^{2}+(-2)^{2}+(-4)^{2}}\cdot\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-3)^{2}}}\\cos\hspace{1mm}B&=&\frac{-6-6+12}{\sqrt{29}\cdot\sqrt{22}}\\&=&0\\cos\hspace{1mm}B&=&0\\B&=&90^{o}\end{eqnarray}\)
  12. Diketahui vektor \(\overrightarrow{a}=6xi-2xj-8k\), \(\overrightarrow{b}=-4i+8j+10k\), dan \(\overrightarrow{c}=-2i+3j-5k\). Jika vektor a\(\perp\)b, maka \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\) adalah ...
    Jawab :
    vektor a\(\perp\)b , maka \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)
    \(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&0\\\begin{bmatrix}6x\\-2x\\-8\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-4\\8\\10\end{bmatrix}&=&0\\-24x-16x-80&=&0\\-80-40x&=&0\\40x&=&-80\\x&=&-2\end{eqnarray}\)
    Maka nilai dari :
    \(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}&=&\begin{bmatrix}-12\\4\\-8\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-4\\8\\10\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\\3\\-5\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}-10\\-1\\-23\end{bmatrix}\end{eqnarray}\)
  13. Sudut antara vektor \(\overrightarrow{a}\) dan \(\overrightarrow{b}\) adalah \(120^{o}\). Jika \(|\overrightarrow{a}|=4\) dan \(|\overrightarrow{b}|=2\). Maka \(\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\) ...
    Jawab :
    \(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot cos\hspace{1mm}\alpha\\&=&4\cdot 2\cdot cos\hspace{1mm}120^{o}\\&=&8\cdot-\frac{1}{2}\\&=&-4\end{eqnarray}\)
    Maka :
    \(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})&=&\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\\&=&|\overrightarrow{a}|^{2}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\\&=&4^{2}+(-4)\\&=&16-4\\&=&12\end{eqnarray}\)
  14. Panjang vektor \(\overrightarrow{p}=\begin{bmatrix}-2\\8\\4\end{bmatrix}\) pada vektor \(\overrightarrow{q}=\begin{bmatrix}0\\3\\4\end{bmatrix}\) adalah ...
    Jawab :
    Panjang vektor p pada vektor q adalah :
    \(\begin{eqnarray}&=&\frac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{q}|}\\&=&\frac{\begin{bmatrix}-2\\8\\4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}0\\3\\4\end{bmatrix}}{\sqrt{0^{2}+3^{2}+4^{2}}}\\&=&\frac{(-2)\cdot 0+8\cdot 3+4\cdot 4}{\sqrt{25}}\\&=&\frac{24+16}{5}\\&=&\frac{40}{5}\\&=&8\end{eqnarray}\)
  15. Dari soal no.14 tentukan vektor proyeksi \(\overrightarrow{p}\) pada \(\overrightarrow{q}\) !
    Jawab :
    Vektor proyeksi \(\overrightarrow{p}\) pada \(\overrightarrow{q}\) adalah :
    \(\begin{eqnarray}&=&\frac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}}{|\overrightarrow{q}|^{2}}\cdot\overrightarrow{q}\\&=&\frac{\begin{bmatrix}-2\\8\\4\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}0\\3\\4\end{bmatrix}}{\sqrt{0^{2}+3^{2}+4^{2}}^{2}}\cdot\begin{bmatrix}0\\3\\4\end{bmatrix}\\&=&\frac{(-2)\cdot 0+8\cdot 3+4\cdot 4}{25}\cdot\begin{bmatrix}0\\3\\4\end{bmatrix}\\&=&\frac{40}{25}\cdot\begin{bmatrix}0\\3\\4\end{bmatrix}\\&=&\frac{8}{5}\cdot\begin{bmatrix}0\\3\\4\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}0\\\frac{24}{5}\\\frac{32}{5}\end{bmatrix}\end{eqnarray}\)

Nah itulah beberapa contoh soal dan pembahasan vektor kelas 10 semester 2. Kalian bisa cek artikel lain di situs ini untuk soal matematika kelas 10 lainnya. Share apabila bermanfaat yaa..

Terima kasih

Belum ada Komentar untuk "Contoh Soal dan Pembahasan Vektor Matematika Peminatan Kelas 10 Semester 2"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel